Кеплер (1571—1630)
не произвел «измерение», сравнение этого предмета
с уже имеющимся в памяти чем-то подобным.
Впереди идет математика, а только потом возни-
кает чувство. Эту работу мозг производит мгновен-
но, потому мы ее не замечаем и не осознаем и нам
кажется, что чувство возникает сразу.
Прежде чем определить золотое сечение, необ-
ходимо ознакомиться с понятием пропорции.
В математике пропорция (лат. proportio) —это
равенство между двумя отношениями четырех ве-
личин: а : Ь = с : d. Далее, для примера обратимся
к отрезку прямой (рис. 1). Отрезок АВ можно
разделить на две равные части (/). Это будет
соотношение равных величин — АВ : АС = АВ : ВС.
Эту же прямую (2, 3) можно разделить на две
неравные части в любом отношении. Эти части
пропорции не образуют. Отношение малого отрезка
к большому или меньшего к большему есть, а со-
отношения (пропорции) нет. И, наконец, прямую
АВ(4) можно разделить по золотому сечению,
когда АВ : АС, как АС : ВС. Это и есть золотое
деление или деление в крайнем и среднем отно-
шении.
Из вышеизложенного следует вывод, что золо-
тое сечение— это такое пропорциональное гармо-
ническое деление отрезка на неравные части, при
котором весь отрезок так относится к большей
части, как сама большая часть относится к мень-
шей; или другими словами, меньший отрезок так
относится к большему, как больший ко всему,
т. е. a: b = b : с или с \Ь = Ь : а (рис. 2). Определе-
ние— деление в крайнем и среднем отношении —
становится более понятным, если мы выразим его
геометрически (рис. 3), а именно а : Ь как Ь : с.
Из рис. 3 понятно, почему астроном Иоганн
Кеплер называл золотую пропорцию продолжаю-
щей саму себя. «Устроена она так,— писал И. Кеп-
лер,— что два младших члена этой нескончаемой
пропорции в сумме дают третий член, а любые
два последних члена, если их сложить, дают сле-
8
РИС. I.
Деление отрезка прямой на равные части и по золотому се-
чению:
Рис. 2.
Геометрическое и алгебраическое выражение золотой пропор-
ции:
а:в =в:с или с : в =в : а
дующий член, причем та же пропорция сохраняет-
ся до бесконечности» 1.
Как видим, построение ряда отрезков золотой
пропорции можно производить как в сторону уве-
личения (возрастающий ряд), так и в сторону
уменьшения (нисходящий ряд). В последнем слу-
чае необходимо от большего отрезка вычесть мень-
ший— получим еще меньший: b — a = d, и т. д.
Практическое знакомство с золотым сечением
обычно начинают с деления отрезка прямой в зо-
лотой пропорции геометрическим способом (рис.4).
I —АВ ; АС=АВ : ВС (образуется пропорция); 2, 3 — пропорция не об-
разуется; 4—АВ:АС=АС:ВС или ВС : АС=АС : АВ (золотая пропор-
ция)
1 Кеплер И. О шестиугольных снежинках.—М., 1982.—
С. 17.
Рис. 3.
Среднее пропорциональное или деление отрезка в крайнем и среднем отношении:
й — Ь — а; с=а+Ь
Рис. 4. Рис. 5.
Геометрическое деление отрезка прямой по золотому сечению Определение линии золотого сечения на картине геометриче-
(разработано А. Дюрером): ским способом:
ВС =0,5 АВ; CD =ВС ВС =0,5 АВ
9
Рис. 6.
Применение золотого сечения в построении картины И. Е. Репина «А. С. Пушкин на акте в Лицее 8 января 1815 года»
Из точки В восставляется перпендикуляр, равный
половине АВ. Полученная точка С соединяется
линией с точкой А. На полученной линии отклады-
вается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D.
Отрезок AD переносится на прямую АВ. Получен-
ная при этом точка ? делит отрезок АВ в соот-
ношении золотой пропорции. Арифметически отрез-
ки золотой пропорции выражаются бесконечной
иррациональной дробью. АЕ = 0,618…, если АВ
принять за единицу, ?? = 0,382…. В практике при-
меняется округление: 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ
принять за 100 частей, то большая часть отрезка
равна 62, а меньшая — 38 частям.
При переносе геометрического способа деления
10
Рис. 7.
Линии золотого сечения и диагонали на картине
на картину или эскиз поступают так: половину
длины картины или эскиза откладывают на высоту
или продолжение высоты, если эскиз узкого фор-
мата.
Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93